1. 汉明码
汉明码是一种能够纠正一位错码且编码效率较高的线性分组 码，它是用来纠正错误的线性分组码，汉明码及其变形已广泛地在数据存储系统中被作为差错控制码。
我们知道，在奇偶 校验时如按偶检验，由于使用了一维监督位 a o' 故它能和信息位 a n- I ,an-2• …，a I 一起构成一个代数式。在接收端解码时，实际上是在计算： 式( 2. 10 ) 称为监督关系式（也叫监督方程）， S 称为校正子（校正子的个数与 r 相等）。若 S = 0, 就认为无错；若S = 1, 就认为有错。由于校正子 S 的取值只有两种 ，它就只能代表有错 和无错这两种信息 ，而不能指出错误的位置。不难推想 ，如果监督 位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式( 2. 10 ) 的监督关系式。由千两个 校正子的可能值有 4 种组合：00 、0 1、10 、11 , 故能表示 4 种不同信息。若用其中 1 种表示无错，则 其余 3 种就有可能用来指示一位错误的 3 种不同位置。同理， r 个监督关系式能指示一位错码的 2' - 1 个可能位置。
一般来说，若码长为 n , 信息位数为 k ' 则监督位数r =n - k 。如果希望用r 个
监督位构造出r 个监督关系式来指示一位错码的 n 种可能位置，则需 要： 设分组 码( n , k ) 中k =4, 为了纠正一位错码，由式( 2. 11) 可知，要求监督位r若取 r = 3, 则n = k + r = 7 , 这就是( 7 ,4 ) 汉明码。现在用s, 、鸟、出来表示由 3个监督方程计算得到的 3 个校正子，设 3 个校正子 s, 、岛、S3 构成的码组与错码位置及错误图样的对应关 系见表 2. 4。
从表 中可以看出当发生一个错码时 ，其位置在 a2 、a4 、a5 、a6 时，校正子S1 =l, 否则 为 0。这就是说a2 、a 小 a5 、a6 4 个码元构成偶数监督关系，即：