汉明码及线性分组码

1.汉明码
汉明码是一种能够纠正一位错码且编码效率较高的线性分组码，它是用来纠正错误的线性分组码，汉明码及其变形已广泛地在数据存储系统中被作为差错控制码。
我们知道，在奇偶校验时如按偶检验，由于使用了一维监督位ao'故它能和信息位an-I,an-2•…，aI一起构成一个代数式。在接收端解码时，实际上是在计算： 式(2.10)称为监督关系式（也叫监督方程），S称为校正子（校正子的个数与r相等）。若S=0, 就认为无错；若S= 1, 就认为有错。由于校正子S的取值只有两种，它就只能代表有错和无错这两种信息，而不能指出错误的位置。不难推想，如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式(2.10) 的监督关系式。由千两个校正子的可能值有4种组合：00、01、10、11,故能表示4种不同信息。若用其中1种表示无错，则其余3 种就有可能用来指示一位错误的3种不同位置。同理，r个监督关系式能指示一位错码的2' - 1 个可能位置。
一般来说，若码长为n,信息位数为k'则监督位数r=n-k。如果希望用r个
监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则需要： 设分组码(n,k)中k=4,为了纠正一位错码，由式(2.11)可知，要求监督位r若取r=3,则n=k+r=7,这就是(7,4)汉明码。现在用s,、鸟、出来表示由3个监督方程计算得到的3个校正子，设3个校正子s,、岛、S3 构成的码组与错码位置及错误图样的对应关系见表2.4。
从表中可以看出当发生一个错码时，其位置在a2、a4、a5、a6时，校正子S1=l,否则为0。这就是说a2、a小a5、a64个码元构成偶数监督关系，即：